Условия Коши-Римана

Пусть задана функция  в некоторой области комплексной плоскости .

Мы скажем, что функция дифференцируема в точке , если существует предел

 .

Этот предел называется производной функции   в точке  и обозначается . Найдем необходимые условия дифференцируемости функции  в точке . Воспользуемся тем, что если производная существует, то предел можно находить по любому направлению. Пусть сначала , тогда

С другой стороны, возьмем , тогда 

.

Поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда. Когда равны их действительные и мнимые части, то из равенства 

Получаем условия Коши — Римана:

Условия Коши — Римана были получены нами как необходимые условия для существования производной в точке . Оказывается, что если потребовать дополнительно, чтобы функции  и  были дифференцируемы в точке , то условия Коши — Римана являются достаточными для существования производной в точке .

Пример 1 Проверить выполнение условий Коши — Римана для функции  Имеем: . Здесь . Проверяем оба условия:  Поскольку действительная часть  и мнимая часть  дифференцируемы для всех и . то функция всюду дифференцируема.

Пример 2 Показать, что функция  дифференцируема на всей комплексной плоскости. Заметим, что действительная и мнимая части функции  и   дифференцируемы. Проверяем условия Коши — Римана:  Оба условия выполняются, следовательно, функция дифференцируема для всех .

Пример 3 Показать, что функция  нигде не дифференцируема. У нашей функции . Уже первое условие  не выполняется: . Поскольку первое условие нигде не выполняется, то функция   нигде не дифференцируема.