Уравнение Эйлера

Уравнением Эйлера называется линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами вида

Такой специальный вид линейного дифференциального уравнения позволяет свести  это линейное уравнение с переменными коэффициентами к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимого переменного для и для . 

Действительно, при такой замене получаем: , и уравнение с переменными коэффициентами становится уравнением с постоянными коэффициентами. Для уравнения с постоянными коэффициентами будет иметь следующий вид: 

Приведем пример:

Пример 1 

Решить уравнение Эйлера:.

Составим характеристическое уравнение: . Его корни . Следовательно, общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами такое: .

Решаем неоднородное уравнение. Составляем его, используя характеристическое уравнение:    Частное решение ищем в виде . Подставляем в уравнение:. Итак, решение исходного уравнения    

Чтобы решить однородное уравнение можно поступить проще: искать решения в виде одночлена . Приведем пример:

Пример 2 

Решить однородное уравнение Эйлера: . Подставим в уравнение: . Корни уравнения . Поэтому частными решениями будут: , а общим решением исходного уравнения будет: .