Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

Очевидно, что при  уравнение становится линейным. Чтобы решить это уравнение, можно разделить обе части на  и сделать замену  , и уравнение становится линейным:

 .

Приведем пример:

Пример 1 

Решить уравнение Бернулли .

Разделим обе части уравнения на  и запишем уравнение в виде  . Делим обе части на :  и сделаем замену , тогда  и уравнение становится линейным относительно :

Решаем это уравнение методом вариации произвольной постоянной. Сначала решаем однородное уравнение соответствующее исходному уравнению:

Теперь, полагаем  и подставим его в уравнение неоднородное относительно :

Итак, получили

 .

Наконец, общее решение исходного уравнения (учитываем  - решение потерянное нами при делении на ) следующее:

Уравнение Бернулли можно решать и как линейное уравнение сразу, не делая замены. Продемонстрируем это на следующем примере:

Пример 2

Решить уравнение Бернулли: .

Запишем уравнение в виде:   и решим его методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим сначала однородное уравнение и решим его:

Теперь полагаем  и подставим его в уравнение неоднородное относительно :

Отсюда  . Окончательно, общее решение исходного уравнения (опять же учитываем решение  , которое мы потеряли на втором шаге, разделяя переменные при нахождении )